Математика для спорта - баскетбол

2012-11-14

Расстановка игроков в баскетбольной команде

Опытный тренер, хорошо знающий своих игроков, обычно успешно справляется с проблемой распределения между ними игровых обязанностей. Задача, связанная с использованием запасных игроков в разных сочетаниях, оказывается более сложной, если команда имеет «длинную скамейку» (в команде много игроков примерно одного класса). В этой ситуации даже опытному тренеру может помочь рассмотрение соответствующей математической модели.

Для начала ограничимся рассмотрением достаточно простой и не столь уже редкой ситуации. Незадолго до ответственной встречи в команде были заменены не только ряд игроков, но также и тренер. Его место занял новый, недостаточно опытный наставник, к тому же мало знакомый с отдельными игроками и с их возможностями. Перед новым тренером стоит задача: распределить между игроками команды обязанности таким способом, чтобы общая результативность действий всей команды оказалась наибольшей.

Попытаемся помочь новому тренеру, используя методы исследования операций. С этой целью придадим задаче, сформулированной на вербальном уровне, более точную форму и займемся построением ее математической модели. Если ничего не знать об игроках, то нечего и решать, — можно действовать наугад. Поэтому полезны даже ограниченные сведения. Следует воспользоваться каким-либо приемом, позволяющим в приемлемые сроки познакомиться с возможностями всех игроков. Обычно поступают следующим образом. Членам команды предлагают серию тестов, позволяющих оценить их способности играть центровым, защитником, разводящим, на левом и правом краях. Действия игроков, назовем их А, В, С, D, Е, оцениваются в некоторых условных баллах.

Умудренные опытом тренеры могут сказать: к чему все это, ведь каждый игрок имеет свое амплуа, и нечего ставить, скажем, центрового на левый край или разводящего на роль защитника. В определенной мере это так, но при наличии значительного числа запасных игроков проблема формирования команды, выставляемой на встречу, приобретает особую сложность. Решается она таким же методом, как поставленная выше упрощенная задача.

В рамках этого же метода тренер может решать и такой вопрос: выпускать ли ему двух центровых или двух защитников (вместо одного).

Сведем результаты тестирования (в баллах) в табл. 1.

Чем выше балл, тем предпочтительнее назначение игрока на соответствующее амплуа. Так, например, игрок В, вероятно, будет хорошим центровым и защитником, но слабым левым крайним, а игрок D, в общем-то, равно играет всюду, а центровым достаточно плохо.

Запомним смысл записанных чисел и будем работать с матрицей баллов Г:

Вместе с тренером мы примем естественное предположение (критерий эффективности), согласно которому эффективность игры всей команды определяется суммой баллов, оценивающих игру каждого. Подобное предположение можно оспаривать и настаивать на ином критерии эффективности. Читатель вправе это сделать и предложить лучший вариант. Почти несомненно, что он окажется более сложным по своему строению. Выбранный нами критерий обладает огромным достоинством — он линейно зависит от баллов каждого игрока. Смысл этих слов станет ясным из последующего. Пока же рассмотрим одно из конкретных (малообдуманных) предложений: игрока А поставить защитником, В — в центр, С — разводящим, D — левым, Е — правым крайним. При такой расстановке Р эффективность (обозначим ее через Ф(Р)) игры всей команды в баллах составит:

Ф(Р) = 3 + 5 + 1+2+1 = 12.

Расстановке Р отвечает табл. (матрица) 2. Она называется матрицей назначений, соответствующей расстановке Р. Будем обозначать ее той же буквой Р.

Смысл этой таблицы очевиден: единица на пересечении строки игрока А и столбца «Защитник» означает, что именно

на эту роль А назначен; нуль подтверждает, что соответствующая роль ему не отводится. Легко усмотреть, что в каждой строке и каждом столбце матрицы назначений имеется в точности по одной единице, тогда как остальные элементы — нули. Подобное строение матрицы является отражением непреложного требования: каждый игрок назначается точно на одно амплуа и на каждое амплуа назначается в точности один игрок. Всех возможных матриц назначения, т. е. всевозможных способов расстановки игроков в команде, столько, сколько существует различных перестановок из пяти элементов, а именно, 5! = 1 -2• 3• 4• 5 = 120. Среди этих матриц необходимо выбрать такую матрицу Р* (их может оказаться и несколько), которая определит расстановку с наибольшим значением эффективности по сравнению с другими матрицами назначений Р. Запишем это требование в виде Ф(Р*) = mах Ф (Р).

Число 120 возможных вариантов не так уж велико, и, потрудившись перебрать, найдем матрицу назначений

которой соответствует наибольшая перспективность игры команды Ф (Р*) = 4 + 3 + 4 + 2 + 2 = 15. При такой расстановке А играет центровым, В — правым крайним, С — защитником, D — разводящим, Е — левым крайним.

Впрочем, это решение оказалось не единственным оптимальным. То же наибольшее значение эффективности возникает при расстановке согласно матрице назначений Р

Ф(Р) = 2 + 5 + 4 + 2 + 2 = 15.

Итак, мы решили задачу, как говорят, «прямым перебором» возможных вариантов. Это удалось осуществить благодаря незначительному числу вариантов (малой размерности задачи). Положение резко изменится к худшему, если в распоряжении тренера имеются запасные игроки, которые к тому же (как и основные) с различными партнерами играют с различной результативностью. Будем считать, что результаты тестирования дают некоторые средние баллы, с учетом игры с разными партнерами. Даже при наличии по одному запасному игроку на каждое место в команде, т. е. при общем числе игроков, равном 10, соответствующая задача о назначениях требует перебора, вообще говоря, 10! = 3628800 вариантов. Осуществление прямого перебора в этом случае немыслимо; можно лишь воспользоваться ЭВМ. Для задачи о назначениях (она называется также задачей выбора) существует удобная для решения математическая модель. Модель формализуется в терминах линейного программирования — самого завершенного и нашедшего наиболее широкое, применение раздела математического программирования или теории исследования операций.

Построим математическую модель задачи о назначениях. Удобства ради припишем игрокам А, В, С, D, Е, соответственно номера i = 1, 2, 3, 4, 5. Аналогично обозначим номерами ,/=1, 2, 3, 4, 5 обязанности защитника, центрового, разводящего, левого и правого крайних соответственно. Затем введем в рассмотрение 25 неизвестных Хij (i=1,...,5, j =1 ,...., 5), значения которых мы станем интерпретировать как указания о назначении игрока под номером i на выполнение обязанностей типа /. При этом каждая из переменных Хij может принимать лишь одно из двух возможных значений:

Совокупность пока неизвестных величин Х ij составляет матрицу назначений

Численные реализации таких матриц нам уже встречались в разобранном ранее примере. Уже известно, что в каждой строке и каждом столбце матрицы X лишь единственный из элементов равен 1, остальные равны нулю. Это обязательное условие (ограничение) может быть записано в соответствующей форме: сумма всех элементов по каждой строке (столбцу) равна 1:

К этому следует присоединить требование неотрицательности неизвестных

X_IJ ≥ 0? (i= 1, ...,5; J= 1, ...,5).

Игрок под номером i, назначенный на амплуа j, внесет свою долю в общую эффективность Ф(X) в размере a ij * x ij. Здесь a ij — элемент соответствующей матрицы баллов Г, расположенный на пересечении ее i-й строки и j-го столбца. Общая эффективность игры команды составит сумму из 25 слагаемых

Ф(Х) = Зх₁₁ + 4х₁₂  + ...+ х₅₅.

Поиск матрицы назначений X, доставляющей эффективности Ф(Х) наибольшее значение, сводится к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений

Х _ij   ≥  0     (i=1,...,5;j=1,...,5)

системы ограничений (1) и (2) выбрать такое, которое придает функции (4) наибольшее значение (оптимизирует Ф(Х)).

Сформулированная задача и есть математическая модель задачи о распределении обязанностей в баскетбольной команде (при отсутствии запасных игроков).

Допустим, что игроков в команде n > 5. Тогда введем дополнительно к известным пяти еще k = n - 5 фиктивных амплуа (мест в команде), считая, что на каждом из них тестовый балл а_ij (i = 1, .., n; j = 6, 7, ...,n) каждого из игроков равен нулю. После такого шага приходим к известной уже задаче о выборе при равном числе претендентов и мест в команде. Возникает математическая модель, отличающаяся от (1) — (4) только числом переменных Х_ij и числом ограничений.

Аналогичным путем могут быть сформулированы и просчитаны различные варианты задач, в которых, например, некоторые места сохраняются за основным составом, остальные — распределяются между запасными.

Решение общей задачи о назначениях может быть осуществлено универсальным симплекс-методом.

Похожие статьи