Делимость и спорт

Делители и кратные.
Число a делится на число b, если существует такое число c,что выполняет равенство a = b*c
При этом число c называется частным от деления a на b, число a – кратным b, а число b – делителем a. Например, убедиться, проведя деление “столбиком”. В то же время 1001 – кратное каждого из этих чисел.
Простые и составные числа.
Всякое число делится само на себя и на 1 – это следует из равенства a = a*1.
Числа, которые не имеют других делителей, кроме 1 и самого себя, называются простыми. Таковы, например, числа 3, 5, 7, 89.Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными.
Составными является, например, число 6: оно имеет 4 делителя – 1, 2, 3, 6.
Можно, сказать так же, что число является составным, если его можно разложить на 2 множителя, не один из которых не равен 1. Например, 21 = 3•7.
Простое число, напротив, обладает “противоположным” свойством: если оно разложено на 2 множителя, то один из них равен 1.
Выбери и расположи простые числа в порядке убывания:
Делимость произведения.
Задачи. связанные с делимостью натуральных чисел, очень разнообразны. для их решения полезны некоторые общие свойства делимости, которые помогают существенно упрощать вычисления.
Свойство 1. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то и их произведение делится на это число.
В данном свойстве действуют три “ персонажа “: два числа – сомножители и некоторое третье число. Первые два числа обозначим буквами ab., а третье число – буквой c.
Одно из чисел a и b, по условию, делится на c. Пусть, например, b делится на c. Это означает, что существует k такое, что b = ck. Тогда: ab= a(ck) = c(ak), то есть ab делится на c – в частном получается число ak.
Свойство 2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое число делится на третье.
Обозначим первое, второе и третье числа буквами a, b и c. По условию, a делится на b, то есть a = bn, где n – некоторое натуральное число. В полученном произведении множитель b делится на c. значит, по свойству 1, на c делится и всё произведение – число a,что и требовалось доказать.
Подбери подходящие значения сумм. Из соответствующих букв составь слово:
8•10+3•100+4•1 000 | 4038 м | 4380 о | 4308 н |
4•10 000+5•100+7 | 40507 й | 45007 а | 45700 к |
26•100+2 000 | 4006 д | 4060 п | 4600 е |
73•10+10 000 | 40730 х | 47300 б | 40703 я |
6•10+29•100+100 | 3006 т | 3060 к | 3600 р |
8•100+10 000+2 | 20080 у | 28000 с | 20008 з |
2•1 000+5•100+8•10 | 2058 ж | 2580 к | 2058 в |
Делимость суммы и разности.
Свойство 1. Если два числа делятся на некоторое число, то их сумма и разность тоже делятся на это число.
Для доказательства обозначим первые два числа буквами a и b, а третье число – буквой c. Так как, a, по условию, делится на c, то a = ck. Так как b, по условию, делится на c, то b = cl. Значит:
a + b = ck = cl = c(k + l)
то есть a + b делится на c – в частном получается число k + l.
Точно так же доказывается, что разность a – b делится на c.
Свойство 2. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то их сумма и разность не делятся на это число.
Данные числа обозначим буквами a и b, третье число – буквой c. Пусть, например, a делится на c, а b не делится на c.
Предположим, что сумма a + b делится на c. Тогда, по свойству 1, разность (a + b) – a, то есть число b, также делится на c. Мы пришли к противоречию: число b, одновременно и делится, и не делится на c.
Найди ложные высказывания. Из соответствующих букв составь вид спорта:
Признаки делимости на 10, на 2 и на 5.
В математике придумали некоторые специальные приёмы для упрощения вычислений – признаки делимости.
Простейший из них нам хорошо известен – это признак делимости на 10. именно, если число оканчивается на 0, то оно делится 10, а если число оканчивается на любую другую цифру, то оно не делится на 10. Таким образом, признак делимости на 10 формулируется так: "Число делится на 10 в том и только в том случае, когда его последняя цифра ровна 0".
Число a делится на 10 <-> Последняя цифра a равна 0
Рассмотрим теперь вопрос о делимости на 5. Здесь нам существенно помогут изученные свойства делимости.
Задача. Какие из чисел 34 470, 745, 5 637 делятся на 5?
Число 34 470 делится на 10, а 10 делится 5. Поэтому, по свойству 2 делимости произведения, 34 470 делится на 5. Ясно, что и всякое число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 5.
Число 745 представим в виде суммы: 745 = 740 + 5. Оба слагаемых делятся на 5, и по свойству 1 делимости суммы, их сумма 745 делится на 5. Я, что и всякое число, оканчивающееся цифрой 5, делится на 5.
Число 5 637 также представим в виде суммы: 5 637 = 5 630 + 7. Здесь первое слагаемое делится на 5, а второе не делится на 5. По свойству 2 делимости суммы, сумма 5 637 не делится на 5.
Из этих примеров вполне очевидно признак делимости на 5: "Число делится на 5 в том и только в том случае, когда оно оканчивается цифрой 0 или 5".
Число делится на 5 <-> Последняя цифра числа a равна 0 или 5
Аналогично, число делится на 2 в том и только в том случае, когда оно оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Эти цифры условились называть чётными, в отличие от остальных цифр – 1, 3, 5, 7, 9, которые называют нечётными. Поэтому признак делимости на 2 формулируется немного проще: "Число делится на 2 в том и только в том случае, когда оно оканчивается четной цифрой".
Число a делится на 2 <-> Последняя цифрп числа - чётная
Расшифруй слово, из чисел, которые кратны 10, 5 и 2:
Признаки делимости на 3 и на 9.
Исследуем теперь, от чего зависит делимость числа на 3 и на 9.
Задача. Делится ли на 3 число 8 535?
Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
8 535 = 8000 + 500 + 30 + 5 = 8 •1000 + 5 • 100 + 3 • 10 + 5.
Из каждого " круглого " числа выделим единицу и раскроем скобки:
8 535 = 8 • ( 999 + 1 ) + 5 • ( 99 + 1 ) + 3 • ( 9 + 1 ) + 5 = 8 • 999 + 8 + 5 • 99 + 5 + 3 • 9 + 3 + 5 = 8 • 999 + 5 • 99 + 3 • 9 + ( 8 + 5 + 3 + 5+ ).
Числа 999, 99 и 9 делятся на 3, а значит по свойствам делимости, и суммы первых трёх слагаемых делится на 3. Поэтому ответ на вопрос о делимости на 3 числа 8 535 зависит от делимости на 3суммы остальных слагаемых, то есть 8 + 5 + 3 + 5 = 21. Число 21 на 32 делится, и поэтому 8 535 на 3 также делится.
Такое рассуждение можно провести для любого числа, и мы можем сформулировать следующий признак делимости на 3: "Число делится на 3 в том и только в том случае, когда его сумма цифр делится на 3".
Число a делится на 3 <-> Сумма цифр числа a делится на 3
Признак делимости на 9 формулируется " почти " так же, как признак делимость на 3: "Число делится на 9 в том и только в том случае, когда его сумма цифр делится на 9".
Число a делится на 9 <-> Сумма цифр числа a делится на 9
Расшифруй слово, из чисел, которые не кратны 9:
Из приведённых выше чисел отбери те, которые не кратны 3 и составь слово.
Ответы:
- 1. Футбол
- 2. Гиря
- 3. Хоккей
- 4. Каратэ
- 5. Матчь
- 6. Евролига, игра
Комментарии