Математика для спорта - спортивный рацион
![](/content/images/article/article_icon_preview_90.jpg)
Задача о спортивном рационе
Одной из первых задач, решенных методами линейного программирования, явилась задача о диете, рассмотренная американскими математиками Стигнером в 1945 г. и (независимо от него) Купмансом в 1947 г.
Вот ее постановка. Известно, что для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки некоторое количество питательных веществ: белков, жиров, углеводов, витаминов и т. д. Специальные требования (например, ограничение количества жиров и углеводов) предъявляются к составлению рациона представителей различных видов спорта. Требования основаны на рекомендациях специалистов (врачей, тренеров). Впрочем, рационально питаться надлежит не только спортсменам. Поэтому дальнейшие рассуждения носят общий характер.
Запасы питательных веществ β1 , β2 , …. , βn различных продуктах
Предположим далее, что стоимость некоторой единицы продукта Zj составляет с} (/ = 1,..., п), а минимальная норма (например суточная) питательного вещества βi выражена числом bt (i = 1, ..., m). Обозначим через Xj (j=l,...,n) количество продукта βj, приобретенного для рациона (подразумевается, что вся приобретаемая пища потребляется). В этом случае общие запасы питательного вещества βi , во всех видах продуктов составят сумму a i1 X1 + ... + a j1 Xj + ... + ainXm.
Этот запас не должен быть меньше минимальной нормы b i что приводит к т неравенствам и
a i1 X1 + ... + a i 1 Xj + ... + ainXm. ≥ βi i = 1, ... , m
При этом общая стоимость приобретенных продуктов составит
F(X) = C1 * X1 + C 2 * X2 + ... + Cn * Xn
Естественно, что каждая из величин Xj не может быть отрицательной, т. е.
Xj ≥ 0, так как продукт Zj, либо приобретается в количестве Xj, либо вовсе не входит в рацион.
Таким образом, реальная задача о наиболее дешевом и приемлемом по минимальным нормам рационе приводит нас к следующей математической задаче (модели).
Задана система (1) из т линейных неравенств с п неизвестными хи...,х„. Требуется среди всех неотрицательных решений системы (1) найти такое, которое сообщает линейной форме (2) от этих же переменных наименьшее значение (минимизирует форму F(X)).
Это — типичная задача линейного программирования, заданная в так называемой стандартной форме (ограничения (1) имеют вид неравенств). Используем векторную запись. Введем, кроме матрицы А, еще вектор -столбцы независимых и свободных членов
а также вектор-строку С = (сь ..., сn) из коэффициентов формы F(X).
Использовав правило умножения матрицы А на вектор-столбец X, а также вектор-строки С на столбец В, мы можем записать кратко систему ограничений и форму F(X) в виде АХ ≥ В, F(X) = СХ, а требование неотрицательности в виде Х ≥0.
Линейное программирование располагает универсальными методами решения поставленной и аналогичных по математической форме задач. В частности и для задач, в которых все ограничения имеют вид точных равенств (как, например, в задаче о футбольных клубах или в задаче о назначениях).
Первый из таких методов — метод разрешающих множителей — был предложен Л. В. Канторовичем в 1939 г. и усовершенствован им и М. К. Гавуриным в 1940 г. К 1949 г. относится публикация первой в США работы по общим проблемам линейного программирования. В ней Дж. Данциг изложил получивший широкое признание симплекс-метод решения общей задачи линейного программирования. Оставляя пока симплекс-метод вне рассмотрения, попытаемся уяснить смысл математической модели задачи о рационе и проведем необходимый анализ. Ограничимся простейшим вариантом, в котором фигурируют пять питательных веществ (т = 5) и два типа продуктов (n = 2).
Всем известным по условию величинам {aij и bt) придадим конкретные числовые значения. Они сведены в таблbwt и носят чисто иллюстративный характер.
Питательные вещества | Продукты | Норма | |
1 | 2 | ||
P1 | 1 | 5 | 10 |
P2 | 3 | 2 | 12 |
P3 | 2 | 4 | 16 |
P4 | 2 | 2 | 10 |
P5 | 1 | 0 | 1 |
Ограничения (1), условия неотрицательности переменных и минимизируемая форма примут вид
X1 + 5х2 ≥ 10 | (I) |
Зх1 + 2х2 ≥20 | (II) |
2х1 + 4х2 ≥16 | (III) |
2х1 + 2х2 ≥ 10 | (IV) |
x1 ≥ 1 | (V) |
х2 > 0 | (VI) |
F{X) = 2xl + 3х2
(неравенство х1 ≥ 0 является следствием неравенства х1 ≥ 1 и потому не включено в эту систему).
На рис. показана область Q допустимых решений, определяемая системой линейных неравенств (I) — (VI), и линии уровня минимизируемой формы F.
Видно, что наименьшее значение достигается формой F(X) в точке А (2, 3) - одной из вершин области Q. Следовательно, наиболее дешевый рацион стоит F (А) =13 денежных единиц и обеспечивается закупками продуктов Z1 и Z2 в объеме X1 = 2, X2 = 3 единиц соответственно.
Отметим, что в рассматриваемом примере область Q допустимых решений неограниченно простирается вверх. Это означает, что в области Q имеются точки с координатами (х1 х2), доставляющие форме F(X) сколь угодно большие значения.
Последнее свидетельствует о том, что питание можно организовать сколь угодно дорого.
Изменим стоимость продуктов Z1 и Z2, положив их равными 2 и 3 единицам соответственно. В этом случае надлежит минимизировать форму
Ф(Х) = 3x1 + 2x2.
Линии уровня этой формы параллельны стороне АВ области Q. Поэтому наименьшее значение F(X) достигается в каждой точке стороны АВ.
Комментарии