Математика для спорта - спортивный рацион

Задача о спортивном рационе

Одной из первых задач, решенных методами линейного программирования, явилась задача о диете, рассмотренная американскими математиками Стигнером  в 1945 г. и (независимо от него)  Купмансом в 1947 г.

Вот ее постановка. Известно, что для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки некоторое количество питательных веществ: белков, жиров, углеводов, витаминов и т. д. Специальные требования (например, ограничение количества жиров и углеводов) предъявляются к составлению рациона представителей различных видов спорта. Требования основаны на рекомендациях специалистов (врачей, тренеров). Впрочем, рационально питаться надлежит не только спортсменам. Поэтому дальнейшие рассуждения носят общий характер.

Запасы питательных веществ    β₁ ,  β₂  , ….  , β_n   различных продуктах

_1,  Z_{2 . . ..,}  Z_n    различны. Обозначим через a _ij запасы (в некоторых единицах) питательного вещества вида  β_j в продукте Zij. Из величин a_tj можно составить матрицу А = (a_tj) из т строк и п столбцов.

Предположим далее, что стоимость некоторой единицы продукта Zj составляет с_} (/ = 1,..., п), а минимальная норма (например суточная) питательного вещества β_i выражена числом b_t (i = 1, ..., m). Обозначим через Xj (j=l,...,n) количество продукта β_j, приобретенного для рациона (подразумевается, что вся приобретаемая пища потребляется). В этом случае общие запасы питательного вещества   β_i ,   во всех видах продуктов составят сумму               a  _i1   X₁ + ... + a  _j1   Xj + ... + a_inX_m.

Этот запас не должен быть меньше минимальной нормы b _i  что приводит к т неравенствам и

a  _i1   X₁ + ... + a _{i 1}   Xj + ... + a_inX_m. ≥  β_i        i = 1, ... , m

При этом общая стоимость приобретенных продуктов составит

F(X) =  C₁ * X₁  + C ₂ * X₂   +  ...  + C_n * X_n

Естественно, что каждая из величин Xj не может быть отрицательной, т. е.

Xj   ≥  0, так как продукт  Z_j, либо приобретается в количестве Xj, либо вовсе не входит в рацион.

Таким образом, реальная задача о наиболее дешевом и приемлемом по минимальным нормам рационе приводит нас к следующей математической задаче (модели).

Задана система (1) из т линейных неравенств с п неизвестными х_и...,х„. Требуется среди всех неотрицательных решений системы (1) найти такое, которое сообщает линейной форме (2) от этих же переменных наименьшее значение (минимизирует форму F(X)).

Это — типичная задача линейного программирования, заданная в так называемой стандартной форме (ограничения (1) имеют вид неравенств). Используем векторную запись. Введем, кроме матрицы А, еще вектор -столбцы независимых и свободных членов

а также вектор-строку С = (с_ь ..., с_n) из коэффициентов формы F(X).

Использовав правило умножения матрицы А на вектор-столбец X, а также вектор-строки С на столбец В, мы можем записать кратко систему ограничений и форму F(X) в виде АХ ≥ В, F(X) = СХ, а требование неотрицательности в виде Х ≥0.

Линейное программирование располагает универсальными методами решения поставленной и аналогичных по математической форме задач. В частности и для задач, в которых все ограничения имеют вид точных равенств (как, например, в задаче о футбольных клубах или в задаче о назначениях).

Первый из таких методов — метод разрешающих множителей — был предложен Л. В. Канторовичем в 1939 г. и усовершенствован им и М. К. Гавуриным в 1940 г. К 1949 г. относится публикация первой в США работы по общим проблемам линейного программирования. В ней Дж. Данциг изложил получивший широкое признание симплекс-метод решения общей задачи линейного программирования. Оставляя пока симплекс-метод вне рассмотрения, попытаемся уяснить смысл математической модели задачи о рационе и проведем необходимый анализ. Ограничимся простейшим вариантом, в котором фигурируют пять питательных веществ (т = 5) и два типа продуктов (n = 2).

Всем известным по условию величинам {a_ij и b_t) придадим конкретные числовые значения. Они сведены в таблbwt и носят чисто иллюстративный характер.

Питательные вещества	Продукты		Норма
	1	2
P1	1	5	10
P2	3	2	12
P3	2	4	16
P4	2	2	10
P5	1	0	1

Ограничения (1), условия неотрицательности переменных и минимизируемая форма примут вид

X1 + 5х2 ≥ 10	(I)
Зх1 + 2х2  ≥20	(II)
2х1 + 4х2  ≥16	(III)
2х1 + 2х2  ≥ 10	(IV)
x1 ≥  1	(V)
х2 > 0	(VI)

F{X) = 2x_l + 3х₂

(неравенство х₁ ≥ 0 является следствием  неравенства  х₁ ≥ 1 и потому не включено в эту систему).

На рис.  показана область Q допустимых решений, опре­деляемая системой линейных неравенств (I) — (VI), и линии уров­ня минимизируемой формы F.

Видно, что наименьшее значение достигается формой F(X) в точке А (2, 3) - одной из вершин области Q. Следователь­но, наиболее дешевый рацион стоит F (А) =13 денежных единиц и обеспечивается закупками продуктов Z₁ и Z₂ в объеме X₁ = 2,    X₂ = 3 единиц соответственно.

Отметим, что в рассматриваемом примере область Q допустимых решений неограниченно простирается вверх. Это означает, что в области Q имеются точки с координатами (х₁ х₂), доставляющие форме F(X) сколь угодно большие значения.

Последнее свидетельствует о том, что питание можно организовать сколь угодно дорого.

Изменим стоимость продуктов Z₁ и Z₂, положив их рав­ными 2 и 3 единицам соответственно. В этом случае надле­жит минимизировать форму

Ф(Х) = 3x₁ + 2x₂.

Линии уровня этой формы параллельны стороне АВ области Q. Поэтому наименьшее значение F(X) достигается в каждой точке сто­роны АВ.

Похожие статьи