Математика для спорта - модель игры в теннис
Модель игры в теннис - Марковская цепь
Теперь перейдем к построению математической модели игры в теннис между игроком (1) и игроком (2), предполагая известными вероятности Р(1) и Р(2) выигрыша мяча игроком(1) и игроком(2) соответственно. Пусть для определенности Р(1) = 0,4; Р(2) = 0,6 (1-ый играет несколько лучше 2-го). Не случайно, что Р(1) + 4 - Р(2) = 0,4 + 0,6 = 1 (проигрыш мяча одной стороной означает выигрыш его другой стороной).
Будем говорить, что мы имеем систему — игру в теннис. Состояния системы определяются счетом в пределах гейма. При этом переход из одного состояния (счета) в следующее зависит только от настоящего состояния и, конечно, от вероятности перехода (от чисел у стрелок), однако он не зависит от предшествующих состояний). Отметим, что любая система, в которой переход из одного состояния в другое не зависит от предыстории процесса, а зависит только от текущего состояния, называется в теории вероятностей марковской цепью или цепью Маркова (А. А. Марков, 1856 - 1922). В общем случае конечную марковскую цепь можно задать в виде геометрической схемы (так называемого ориентированного графа), где прямоугольники (вершины графа) изображают состояния, а соединяющие их стрелки (ребра графа) указывают на переходы из одного состояния в другое. Рядом с каждой стрелкой записана вероятность соответствующего перехода.
Мы несколько идеализируем ситуацию, не учитывая некоторые иные обстоятельства, например, фактор подачи, психологические факторы, адаптацию к стилю игры партнера, т. е. процесс «обучения» з ходе игры. В марковской цепи могут существовать состояния различных типов. Во-первых, невозвратное состояние, т. е. такое, выйдя из которого система вновь попасть в него не может. В нашем случае таких состояний довольно много, среди них, например, состояния 15:30 или 40:0 и т.п. Во-вторых, возвратное состояние — всякое состояние, не являющееся невозвратным. Такими у нас являются состояния «больше», «равно», «меньше». Следующий важный тип состояний — поглощающее. Состояние называется поглощающим, если, попадая в него, система и впредь остается в нем, не имея возможности перейти ни в какое иное состояние. В нашем примере таких состояний два: «игра 1-го игрока» и «игра 2-го игрока».
Комментарии