Математика для спорта - статистика
Математическая статистика и прогнозы спортивных достижений
Феноменальный прыжок на 890 см американского спортсмена Р. Бимона — яркое достижение XIX Олимпиады 1968 года в Мехико. Прыжок этот назвали прыжком в XXI век.
В последние годы многим спортсменам удалось прыгнуть на 830-870 см. Правда, подобные результаты все еще редкость: их бывает не более четырех в год.
Попытаемся, хотя бы приближенно, оценить вероятность того, что рекорд Бимона будет превзойден еще в этом веке.
Любой прыжок за 830 см будем называть «удачным» прыжком. За всю историю легкой атлетики зарегистрировано около 30 удачных прыжков. Первый удачный прыжок (831 см) совершил в 1962 г. советский спортсмен И. Тер-Ованесян. С 1962 по 1982 гг. зарегистрировано пятнадцать удачных прыжков (кроме прыжка Бимона). Вот их реестр, составленный на основе справочника по легкой атлетике :
| 831 | И. Тер – Ованесян (СССР) | 1962 |
| 831 | Р. Бостон (США) | 1964 |
| 834 | Р. Бостон | 1964 |
| 835 | Р. Бостон | 1965 |
| 835 | И. Тер – Ованесян (США) | 1967 |
| 835 | Й. Шварц (ФРГ) | 1970 |
| 835 | А. Робинсон (США) | 1976 |
| 835 | Х. Лаутербах (ГДР) | 1981 |
| 836 | Ж. –К. ди Оливейра (Бразилия) | 1979 |
| 841 | Ш. Оббясов (СССР) | 1982 |
| 841 | Л. Домбровски (ГДР) | 1982 |
| 845 | Н. Стекич (Югославия) | 1975 |
| 852 | Л. Мирикс (США) | 1979 |
| 854 | Л. Домбровски (ГДР) | 1980 |
| 876 | К. Льюис (США) | 1982 |
| 890 | Р. Бимон | 1968 |
Введем в рассмотрение случайную величину L, равную округленной до ближайшего десятка (в 'меньшую сторону) длине прыжка. Разобьем весь диапазон отмеченных значений L на интервалы (разряды) длиной в 10 см и подсчитаем число т{ значений, приходящихся на каждый i-й разряд, затем найдем статистическую вероятность Pj = mJN, разделив т{ на общее число N = 15 отмеченных значений. Приходим к статистическом ряду:
L 830 840 850 860 870 880 890 900
р 8/15 4/15 2/15 0 1/15 0 0 0
Этому статистическому раду с помощью так называемой Нетрудно обнаружить, что рассматриваемый ряд хорошо согласуется по различным статистическим критериям (мы лишены возможности останавливаться на этом вопросе и отсылаем читателя к литературе по математической статистике [3; 26]) со следующим теоретическим радом распределения случайной величины X:
X 830 8.40 850 860
р 1/2 1/4 1/8 1/16
870 880 890 900
1/32 1/64 1/128 1/256
Отсюда следует, что вероятность «удачного» прыжка, не превосходящего рекорда Бимона, равна
р(Х < 890) = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/64 = 63/64.
Если предположить, что максимальное число «удачных» прыжков за год равно четырем, то по этой несколько завышенной оценке до конца текущего столетия можно ожидать 60 «удачных» прыжков.
Вероятность q того, что ни один из них не превзойдет рекорда Бимона, равна
q = (p(X < 890))60 = (63/64)60 = 0,389.
Следовательно, вероятность того, что по крайней мере один из этих прыжков окажется новым мировым рекордом (т. е. превысит 890 см) составит
р = 1-0 = 0,611.
В действительности, как следует из многолетних наблюдений, в год регистрируется в среднем лишь два удачных прыжка. Поэтому более реальная оценка
q = (p(X <890))30 = 0,625,
а вероятность побития рекорда Бимона в текущем столетии будет р = 0,375.
Итак, вероятность того, что Р. Бимон «прыгнул в XXI век», достаточно велика*).
Комментарии